23个基础的圆锥曲线专题
1、设椭圆
，其焦点在
轴上，若其准焦距(焦点到准线的距离)
，求椭圆的方程.
2、设椭圆
的离心率
，其通径(过焦点且垂直于长轴的焦直径)
，
为两焦点，
是
上除长轴端点外的任一点，
的角平分线
交长轴于
，求
的取值范围.
3、设椭圆的离心率
，为两焦点，椭圆与
轴的交点为
，求三角形的面积
4、如图，设椭圆，
为长轴顶点，过左焦点
、斜率为
的直线
交椭圆于
两点，若
，求
5、设椭圆，其离心率
，其通径
，① 求椭圆的方程.② 两条焦直径(过焦点的弦)AB与CD互相垂直.求
6、设椭圆
，左焦点为，在椭圆上任取三个不同点
，使得
，求：
7、如图所示，椭圆
，过原点的两条直线交圆于
，
与
的延长线相交于
，
与
的延长线相交于
，求
所在的直线方程.
8、设椭圆，过右焦点的直线
交于两点，为
中点.
⑴若
的斜率为：
，求椭圆的方程；
⑵若直线
交于
两点，与
相交于
，求点的坐标.
9、设椭圆
的长轴端点为，与轴平行的直线交椭圆于
两点，
的延长线相交于
点，求点的轨迹.
10、已知抛物线
，为的焦点，为上任一点，为过点的切线，求证：
与的夹角等于与
轴的夹角.
11、已知抛物线的顶点为原点，其焦点
到直线
的距离为
，在上，过作抛物线的两条切线
、
，其中
、
为切点.
⑴当的坐标为
时，求的直线方程；
⑵当在上移动时，求
的最小值.
12、过抛物线
的焦点作斜率分别为
两条不同弦和
，
，以、为直径的圆圆(、为圆心)的公共弦所在的直线记为，若圆心到距离的最小值为
，求抛物线的方程.
13、已知动圆
过定点
，且在轴上截得的弦的长为8，求动圆圆心的轨迹方程.
14、如图已知，在抛物线
的焦点为，其准线与轴的交点为. 过原点的圆其圆心在抛物线上，与抛物线的准线交于不同的两点
，若
，求圆的半径.
15、如图，抛物线
，抛物线
，点
在抛物线
上，过作
的两条切线和，当
时，切线的斜率为
.
⑴求：所在的直线方程；
⑵当点在抛物线
上运动时，求中点的轨迹方程.
16、已知抛物线
，焦弦被分为
、
两段，求：
为坐标原点，点的坐标为
，点的坐标为
，分别将线段
和
和
，连接
，过
作轴的垂线与
交于点
.
（1）求：点
的轨迹方程；
（2）求：过点的切线方程。
18、已知，双曲线
，过右焦点的直线交
于两点，以
为直径的圆与的准线还有另外两个交点，与原点
构成的三角形，求：
的最小值.
19、如图椭圆：
，
焦弦
交椭圆
.
为左焦点，
为椭圆顶点，
连结
的直线交准线与
，
连结
的直线交准线与
，
是准线：
.
或
，长轴于准线交点为
. 求证：
23个基础的圆锥曲线专题解答
1、设椭圆
，其焦点在轴上，若其准焦距(焦点到准线的距离)，求椭圆的方程.
解：⑴先求
的范围：
由焦点在轴上，则：
，即：
；
另外，
，所以
；所以
.
⑵求
的值：
焦点坐标：
；
椭圆的准线：
；
准焦距：
则：
，即：
方程有两个解：
（舍），和
，故
.
⑶确定椭圆方程：
将，
代入方程得：
2、设椭圆的离心率，其通径(过焦点且垂直于长轴的焦直径)，
为两焦点，是上除长轴端点外的任一点，
的角平分线交长轴于，求的取值范围.
解：⑴通径，即
时的
.
当时代入方程得：
，
即：
，故通径：
，即：
①
⑵由离心率
，即：
，即：
则：
②
联立①②解得：
，
，则
⑶写出椭圆的方程：
③
⑷求的角平分线的直线方程：
由③得过
点的切线方程为：
即：
，其斜率为：
根据椭圆的切线定理，是过点的法线，其斜率为：
则的直线方程为：
将代入上式得：
即：
，故：
④
⑸求出的范围
因为点是上除长轴端点外的任一点，故：
，
即：
. 代入④式得：
.
3、设椭圆的离心率，为两焦点，椭圆与轴的交点为，求三角形的面积
解：⑴先求的方程：
将代入的方程得：
，故：
再由
，即：
，
，
则：
，
，的方程为：
①
⑵求三角形
的面积
：
的高，即
；
的底，即焦距
；
故：
⑶另外，是椭圆的焦点三角形，可以用椭圆的焦点三角形公式秒之. 
4、如图，设椭圆，为长轴顶点，过左焦点、斜率为的直线交椭圆于两点，若，求
解：本题由于直线过左焦点，所以采用以左焦点为原点的极坐标，可使问题大大简化.
椭圆的极坐标方程为：
①
直线的方程为：
②
那么：
；
代入得：
，即：
，故：
于是：
；
故：
，
所以：
5、设椭圆，其离心率，其通径，① 求椭圆的方程.② 两条焦直径(过焦点的弦)AB与CD互相垂直.求
解：⑴先求椭圆的方程：
由离心率
得：
，则：
①
由通径
得：
②
联立①②得：
，
，故椭圆的方程为：
⑵两条焦直径都过焦点，所以采用以焦点为原点的极坐标解题更便捷.
以左焦点为原点的椭圆极坐标方程为： ③
那么，设：
，则：
，
，
代入方程③式得：
于是，
④
于是，
⑤
由④式⑤式得：
⑥
将，
代入⑥式得：
6、设椭圆，左焦点为，在椭圆上任取三个不同点，使得
，求：
解：椭圆的参数：
，
，
，
故离心率，准焦距
.
采用极坐标，以左焦点为原点的极坐标方程为：
，即：
①
设
，则
，
分别代入①式得：
，
，
由于：
所以上三式相加得：
故：
7、如图所示，椭圆，过原点的两条直线交圆于，与的延长线相交于，与的延长线相交于，求所在的直线方程.
解：⑴首先看一下原点
和椭圆的位置关系
将原点坐标代入
得：
小于0表明原点在椭圆内部.
⑵本题中，原点和直线是椭圆的一对极点和极线.
这里先简单介绍一下极点和极线：
过椭圆外一点向椭圆作的所有割线点的连线，相交于两点和，
一个点在椭圆内(假设)，一个点在椭圆外(假设). 这3个点、和构成特殊的三角形，称为自极三点形. 其中，点和直线是一对极点和极线；点和直线
是一对极点和极线；点和直线
是一对极点和极线.如果将极点的坐标，做等效代入椭圆方程，得到的就是其极线方程.这样使得求极线方程变得极为简单.
本题，将原点坐标做等效代入椭圆方程，就得到所在的直线方程.
将极点坐标
做等效代入椭圆方程得到极线方程：
故：代入
，
后得到：
即：
，即：
所以所在的直线方程是：
8、设椭圆，过右焦点的直线交于两点，为中点.
⑴若的斜率为：，求椭圆的方程；
⑵若直线交于两点，与相交于，求点的坐标.
解：⑴由于右焦点在直线上，将右焦点
的坐标代入，得：
，故：，
联立椭圆和直线得到交点的坐标：
消元法消去得：
即：
整理得：
①
由于为中点，所以
，
代进①式由韦达定理得：
②
③
由此得到的斜率为：
已知，故：
，于是 
所以椭圆的方程为：
⑵直线经过
点，直线也经过点，
故点必在关于椭圆以为极点的极线上.
代入极线方程得：
；即：
由于与关于轴对称，根据对称性，
所以点的坐标为：
9、设椭圆的长轴端点为，与轴平行的直线交椭圆于两点，的延长线相交于点，求点的轨迹.
解：设
，
，
由
得：
故：
①
由
得：
，
故：
②
由①
②式得：
③
又，两点在椭圆上，满足：
即：
，即：
代入③式得：
即：
，故：
即：
，这就是点的轨迹方程.
10、已知抛物线，为的焦点，为上任一点，为过点的切线，求证：与的夹角等于与轴的夹角.
证明：为抛物线的焦半径，设其倾角为
，
，
我们看上半轴即
部分，下半轴与上半轴对称。
，
则：
抛物线
两边对求导：
，即
故点的切线为：
即：
，与的夹角为
，而
就是与轴的夹角.
11、已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为，在上，过作抛物线的两条切线、，其中、为切点.
⑴当的坐标为时，求的直线方程；
⑵当在上移动时，求的最小值.
解：⑴先求抛物线的方程
由焦点到直线的距离为得：
，即：
抛物线的方程为：
①
下面求的直线方程：
的直线方程与点是抛物线的一对极线和极点，故用极线方程秒之.
的直线方程：
将
的坐标值代入得：
，即：
⑵ 
点到准线的距离，
点到准线的距离.
即：
②
由于
，可将作为极线，来求其极点.
极点
关于抛物线的极线为：
，即：
与对比得：
，
当在上移动时，其极线必过点.
设的直线的斜率为
，则的直线方程为：
即：
③
点为①与③的交点.
将③代入①式得：
即：
即：
④
方程④的两个根就是
和
.
由韦达定理得：
，
代入②式得：
故的最小值是
.
12、过抛物线的焦点作斜率分别为
两条不同弦和，
，以、为直径的圆圆(、为圆心)的公共弦所在的直线记为，若圆心到距离的最小值为，求抛物线的方程.
解：抛物线
的焦点
.
设直线的方程为：
，直线的方程为：
则：点的坐标满足抛物线方程和直线的方程
即：
于是：
故：
①
是圆的直径，圆心是，
则由韦达定理得：
，
②
圆的直径平方为：
将②式代入上式得:
故圆的直径为：
圆的半径为：
圆的方程为：
③
同理，圆的方程为：
④
由③-④得：
将
，
，
代入上式化简得：
⑤ 这就是两圆的公共弦的直线方程.
由圆心到距离为：
将
，
，
代入上式，并由圆心到距离的最小值为得：
故：
，则抛物线方程为：
.
13、已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8，求动圆圆心的轨迹方程.
解：解题思路：弦和
的垂直平分线相交于圆心.
设：
，则：
，
的垂直平分线方程为：
①
的斜率为：
则的垂直平分线的斜率为：
的中点
为：
，
则的垂直平分线方程为：
②
联立①②，消去
得：
即：
，即：
，即：
这就是求动圆圆心的轨迹方程，是条抛物线.
14、如图已知，在抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为. 过原点的圆其圆心在抛物线上，与抛物线的准线交于不同的两点，若，求圆的半径.
解：抛物线的准线方程：
设圆其圆心坐标为：，
因圆心在抛物线上，则：
又圆过原点，则：
①
故圆得方程为：
即：
即：
对于在准线上的两点，其，
代入上式得：
即：
方程的两个解就是的纵坐标.
由韦达定理得：
，
②
；
，
；
代入得：
将结果代入②式得：
，即：
.
将结果代入①式得：
故：圆的半径为：
15、如图，抛物线，抛物线，点在抛物线上，过作的两条切线和，当时，切线的斜率为.
⑴求：所在的直线方程；
⑵当点在抛物线上运动时，求中点的轨迹方程.
解：⑴先求点的坐标：
抛物线的导函数为：
，即：
抛物线在点的斜率
就是切线的斜率为，
故：
，
，即：
再求所在的直线方程：
点与所在的直线是关于的一对极点和极线，
故：所在的直线方程为：
即：
①
求的坐标：
因为方程①过点，故：
；
当时，
确定所在的直线方程：
将代入①式得：
这就是所在的直线方程.
⑵设的中点为，则：
，
将①代入抛物线方程得：
，即：
由韦达定理得：
或者：
. 这就是中点的轨迹方程.
16、已知抛物线，焦弦被分为、两段，求：
解：抛物线的焦点，即：
，
，
以焦点为原点建极坐标，则抛物线的极坐标方程为：
设：
，则：
故：
17、如图，在正方形
为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，分别将线段和和
，连接，过
作轴的垂线与
交于点
.
⑴求：点
的轨迹方程；
⑵求：过点的切线方程。
解：⑴因为
，所以的直线方程为：
，即：
所在的的垂线方程为：
那么过作轴的垂线与交于点
，故：
，
，
则：
，这就是点的轨迹方程.
⑵ 点的坐标为：
则该点的切线方程为：
，即：
18、已知，双曲线，过右焦点
的直线交
于
两点，以
为直径的圆
与
的准线还有另外两个交点
，与原点
构成的三角形，求：
的最小值.
解：该双曲线的基本参数：
，
，
，
故：，焦点
设过右焦点的直线方程为：
，则：
.
代入双曲线方程
得：
化简得：
（
时）
即：
①
当
时，直线方程为
，与的准线的交点，不构成三角形.
圆的方程：
设圆的圆心坐标为：
，
两点为圆直径上的点，
故由①式得韦达定理得：
②
③
则：
④
圆直径的平方为：
故：
即：
故：
，圆的半径为：
.
圆的方程为：
⑤
求点坐标：
双曲线的准线方程为：
对于圆，当
时，圆此时的坐标就是点的坐标.
故由⑤得：
，故：
⑥
求
的最小值：
只要求出
的最小值，就可以得到的最小值.
对
进行分类讨论：
，前面已说明；
，与准线只有一个交点；
，
，此时，
.
19、如图椭圆：，
焦弦交椭圆.
为左焦点，
为椭圆顶点，
连结的直线交准线与，
连结的直线交准线与，
是准线：.
或，长轴于准线交点为. 求证：
证明：⑴ 过
作
交
于
，过
作
交于
设直线的倾角为
，则由椭圆的极坐标方程可得：
于是：
同理：
，
⑵ 由相似三角形对应边成比例得：
故：
由
得：
即：
代入上式得：
①
⑶ 同理可得：
故：
将代入上式得：
②
⑷ 由①②式得：
因为
是准焦距，故：
因为向量：
，
故：
所以：
，即：. 证毕.